2.

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\ge16\Rightarrow a+b\ge4\)

\(\dfrac{a^2+b^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2\left(a+b\right)}=\dfrac{a+b}{2}\)

Nên ta chỉ cần chứng minh: \(\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{6}{a+b-1}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+b-1\right)-12\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-4\right)\left(a+b+3\right)\ge0\) (luôn đúng với mọi \(a+b\ge4\))

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=2\)

Câu cuối:

Ta chứng minh BĐT phụ sau: với mọi x;y;z dương, ta luôn có: \(\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\ge\dfrac{x+y}{2}\)

Thật vậy, bất đẳng thức tương đương:

\(2\left(x^3+y^3\right)\ge\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (đúng)

Áp dụng:

\(P\ge\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{b+c}{2}+\dfrac{c+a}{2}=a+b+c\ge6\)

\(P_{min}=6\) khi \(a=b=c=2\)

7:

a) Đặt \(\left(x,y\right)=\left(\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b}\right)\).

Ta có \(x+y=2\).

BĐT cần chứng minh trở thành:

\(\dfrac{x}{2+x^2}+\dfrac{y}{2+y^2}\le\dfrac{2}{3}\).

Ta có \(\dfrac{x}{2+x^2}+\dfrac{y}{2+y^2}=\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{2}-\left[\dfrac{x^3}{2\left(2+x^2\right)}+\dfrac{y^3}{2\left(2+y^2\right)}\right]=1-\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{x^3}{2+x^2}+\dfrac{y^3}{2+y^2}\right]\).

Mặt khác ta có \(\dfrac{x^3}{2+x^2}-\left(\dfrac{7}{9}x-\dfrac{4}{9}\right)=\dfrac{2\left(x-1\right)^2\left(x+4\right)}{9\left(x^2+2\right)}\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^3}{2+x^2}\ge\dfrac{7}{9}x-\dfrac{4}{9}\).

Tương tự, \(\dfrac{y^3}{2+y^2}\ge\dfrac{7}{9}y-\dfrac{4}{9}\).

Do đó \(\dfrac{x^3}{2+x^2}+\dfrac{y^3}{2+y^2}\ge\dfrac{7}{9}\left(x+y\right)-\dfrac{8}{9}=\dfrac{2}{3}\).

\(\Rightarrow\dfrac{x}{2+x^2}+\dfrac{y}{2+y^2}=1-\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{x^3}{2+x^2}+\dfrac{y^3}{2+y^2}\right]\le\dfrac{2}{3}\).

BĐT dc cm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1.

c131-136 nhỏ ko đọc đc

Mọi cố gắng đều không bao giờ vô nghĩa, cố gắng học, cố gắng làm, tuy sự cố gắng có thể chưa nhiều nhưng ''tích tiểu thành đại'' một lúc nào đó nó sẽ thành công. Từ bức ảnh này có thể thấy, mỗi con số vô cùng nhỏ nhưng số mũ lại rất lớn, làm cho kết quả cũng lớn theo. Số mũ này còn tượng trưng cho 365 ngày trong năm, mỗi ngày là con số kia, sau 1 năm, kết quả đã lớn đến nhường nào. Đôi khi trong quá trình cố gắng, gặp khó khăn, nếu chúng ta từ bỏ, thì cố gắng từ trước đến này cũng bằng không. Bản thân mình trước kia cũng từng là một đứa nghiện game, truyện tranh đến mức bị mẹ dọa cho nghỉ học, bản thân mình lúc đó cũng chưa nghĩ gì nhiều, nhưng thấy kết quả học chưa tốt, bố mẹ lo lắng, mình đã bỏ qua tất cả, cố gắng học từng chút một, có thể là giờ cái sự cố gắng của mình nó chưa lớn như người khác nhưng mình chưa từ bỏ nó một lần nào, mình hi vọng sẽ có một ngày nào mình thành công trên con đường mình đã chọn. Nói chung lại, cố gắng sẽ khiến bản thân ta thay đổi, thành công sẽ đến gần hơn 

P/s lại viết ''ngựa ngựa'' đây :)))

Cuộc thi có vẻ rất vui và thú vị :^

:3 hi vọng cuộc thi sẽ mở rộng và có nhiều môn học hơn 

139:

Đặt \(x=\dfrac{1}{a},y=\dfrac{1}{b},z=\dfrac{1}{c}\left(a,b,c>0\right)\)

GT \(\Rightarrow\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=\dfrac{3}{abc}\Rightarrow a+b+c=3\)

\(\Rightarrow\dfrac{y^2}{xy^2+2x^2}=\dfrac{1}{b^2}:\left(\dfrac{1}{ab^2}+\dfrac{2}{a^2}\right)=\dfrac{1}{b^2}:\left(\dfrac{a+2b^2}{a^2b^2}\right)=\dfrac{a^2}{a+2b^2}=a-\dfrac{2ab^2}{a+2b^2}\ge a-\dfrac{2ab^2}{3b\sqrt[3]{ab}}=a-\dfrac{2}{3}\sqrt[3]{a^2b^2}\ge a-\dfrac{2}{9}\left(a+b+ab\right)\) Tương tự ta được: 

\(\dfrac{x^2}{zx^2+2z^2}=\dfrac{c^2}{c+2a^2}=c-\dfrac{2ca^2}{c+2a^2}\ge c-\dfrac{2}{9}\left(c+a+ac\right)\)

\(\dfrac{z^2}{yz^2+2y^2}=\dfrac{b^2}{b+2c^2}=b-\dfrac{2bc^2}{b+2c^2}\ge b-\dfrac{2}{9}\left(b+c+bc\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{y^2}{xy^2+2x^2}+\dfrac{x^2}{zx^2+2z^2}+\dfrac{z^2}{yz^2+2z^2}\ge\left(a+b+c\right)-\dfrac{2}{9}\left(2a+2b+2c+ab+bc+ca\right)\) \(\ge3-\dfrac{2}{9}\left[6+\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\right]=3-\dfrac{2}{9}\left(6+\dfrac{9}{3}\right)=3-\dfrac{2}{9}\cdot9=1\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\Rightarrow x=y=z=3\)

câu trả lời :

Đặt ⇒1ab+1bc+1ca=3abc⇒a+b+c=3⇒1ab+1bc+1ca=3abc⇒a+b+c=3

141. x > -5

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}2x^2+5x+12=a\\2x^2+3x+2=b\end{matrix}\right.\left(a,b>0\right)\)

pt \(\Leftrightarrow a+b=\dfrac{a^2-b^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(1-\dfrac{a-b}{2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a-b=2\) (vì \(\sqrt{2x^2+5x+12}+\sqrt{2x^2+3x+2}>0\))

\(\Rightarrow\sqrt{2x^2+5x+12}=\sqrt{2x^2+3x+2}+2\)

\(\Rightarrow x+3=2\sqrt{2x^2+3x+2}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{7}\\x=-1\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn)

Vậy .....

`\sqrt{4x^2+5x+1}-2\sqrt{x^2-x+1}=6-18x`

`<=>\sqrt{4x^2+5x+1}-\sqrt{4x^2-4x+4}=6-18x`

`<=>(9x-3)/(\sqrt{4x^2+5x+1}+\sqrt{4x^2-4x+4})+6(3x-1)=0`

`<=>(3x-1)(3/(\sqrt{4x^2+5x+1}+\sqrt{4x^2-4x+4})+6)=0`

Ta thấy `3/(\sqrt{4x^2+5x+1}+\sqrt{4x^2-4x+4})+6>0`

`=>3x-1=0`

`=>3x=1`

`=>x=1/3`

Vậy `S={1/3}`

`1/(x^2+9x+20)=1/15-1/(x^2+5x+4)(x ne -1,-4,-5)`

`=>1/((x+4)(x+5))=1/15-1/((x+1)(x+4))`

`=>1/(x+4)-1/(x+5)=1/15-1/((x+1)(x+4))`

`=>3/(x+4)-3/(x+5)=3/15-3/((x+1)(x+4))`

`=>3/(x+4)-3/(x+5)=3/15-1/(x+1)+1/(x+4)`

`=>2/(x+4)-3/(x+5)+1/(x+1)=3/15`

`=>30(x+1)(x+5)-45(x+1)(x+4)+15(x+4)(x+5)=3(x+1)(x+4)(x+5)`

`=>30(x^2+6x+5)-45(x^2+5x+4)+15(x^2+9x+20)=3(x^2+5x+4)(x+5)`

`<=>90x+270=3(x^3+8x^2+29x+20)`

`<=>x^3+24x^2-3x-210=0`

`=>x=-23\or\x=2,85\or\x=-3`

`A=(10^50+2)/(10^50-1)`

`=1+3/(10^50-1)`

Tương tự:

`B=1+3/(10^50-3)`

`10^50-1>10^50-3>0`

`=>3/(10^50-1)<3/(10^50-3)`

`=>A<B`

`20.2^x+1=10.4^2+1`

`=>20.2^x=10.4^2`

`=>2^x=4^2/2=2^3`

`=>x=3`

Vậy x=3

C180 : 

    20 . 2^x + 1 = 10 . 4² + 1

\(\Leftrightarrow\) 2 . 2^x = 4²

\(\Leftrightarrow\) 2^{x + 1} = 2⁴

\(\Leftrightarrow\) x + 1 = 4

\(\Leftrightarrow\) x = 3

Vậy x = 3

179:

CM bđt phụ \(a>b;a,b,m\in N\) thì \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a-m}{b-m}\Rightarrow a\left(b-m\right)< b\left(a-m\right)\Leftrightarrow ab-am< ab-bm\Leftrightarrow-am< -bm\Leftrightarrow a>b\)\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a-m}{b-m}\)

Áp dụng bđt phụ  \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a-m}{b-m}\) với a>b,a,b,m\(\in N\) có:

\(\Rightarrow A=\dfrac{10^{50}+2}{10^{50}-1}< \dfrac{10^{50}+2-2}{10^{50}-1-2}=\dfrac{10^{50}}{10^{50}-3}=B\)

 \(\Rightarrow A< B\)

Bài 129:

ĐKXĐ: \(x^2-y+1\ge0\)\(\left\{{}\begin{matrix}4x^2-2x+y^2+y-4xy=0\left(1\right)\\x^2-x+y=\left(y-x+3\right)\sqrt{x^2-y+1}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1) \(\Rightarrow\left(2x-y\right)^2-\left(2x-y\right)=0\Leftrightarrow\left(2x-y\right)\left(2x-y-1\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2x\\y=2x-1\end{matrix}\right.\)

Nếu y=2x Thay vào (2) ta được: 

\(\Rightarrow x^2-x+2x=\left(2x-x+3\right)\sqrt{x^2-2x+1}\Leftrightarrow x^2+x=\left(x+3\right)\left|x-1\right|\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+x=\left(x+3\right)\left(1-x\right)\left(x< 1\right)\left(3\right)\\x^2+x=\left(x+3\right)\left(x-1\right)\left(x\ge1\right)\left(4\right)\end{matrix}\right.\) 

Từ (3) \(\Rightarrow x^2+x=x-x^2+3-3x\Leftrightarrow2x^2+3x-3=0\) \(\Leftrightarrow x^2-2\cdot\dfrac{3}{4}x+\dfrac{9}{16}-\dfrac{9}{16}-\dfrac{3}{2}=0\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{3}{4}\right)^2=\dfrac{33}{16}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{3+\sqrt{33}}{4}\left(L\right)\\x=\dfrac{3-\sqrt{33}}{4}\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow y=\) \(2\cdot\left(\dfrac{3-\sqrt{33}}{4}\right)=\dfrac{3-\sqrt{33}}{2}\)

Từ (4) \(\Rightarrow x^2+x=x^2-x+3x-3\Leftrightarrow-x=-3\Leftrightarrow x=3\left(TM\right)\)\(\Rightarrow y=6\)

Nếu y=2x+1 Thay vào (2) ta được: 

\(\Rightarrow x^2-x+2x+1=\left(2x+1-x+3\right)\sqrt{x^2-2x-1+1}\Leftrightarrow x^2+x+1=\left(x+4\right)\sqrt{x^2-2x}\left(\left[{}\begin{matrix}x\ge2\\x\le0\end{matrix}\right.;x\ge-4\right)\)

\(\Rightarrow x^2+x+1-\left(x+4\right)\sqrt{x^2-2x}=0\Leftrightarrow2x^2+2x+2-2x\sqrt{x^2-2x}-4\sqrt{x^2-2x}=0\Leftrightarrow x^2-2x+x^2+4-2x\sqrt{x^2-2x}+4x-4\sqrt{x^2-2x}=2\Leftrightarrow\left(-\sqrt{x^2-2x}+x+2\right)^2=2\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-\sqrt{x^2-2x}+x+2=\sqrt{2}\left(5\right)\\-\sqrt{x^2-2x}+x+2=-\sqrt{2}\left(6\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (5) \(\Rightarrow\sqrt{x^2-2x}=x+2-\sqrt{2}\Rightarrow x^2-2x=x^2+\left(2-\sqrt{2}\right)^2-2x\left(2-\sqrt{2}\right)\Leftrightarrow2x\left(2-\sqrt{2}-2\right)=4+2-4\sqrt{2}\Leftrightarrow-2\sqrt{2}x=6-4\sqrt{2}\Leftrightarrow x=-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+2\left(TM\right)\) \(\Rightarrow y=2\left(\dfrac{-3\sqrt{2}}{2}+2\right)+1=-3\sqrt{2}+5\)

Từ (6) \(\Rightarrow\sqrt{x^2-2x}=x+2+\sqrt{2}\Rightarrow x^2-2x=x^2+\left(2+\sqrt{2}\right)^2+2x\left(2+\sqrt{2}\right)\Leftrightarrow2x\left(2+\sqrt{2}-2\right)=6+4\sqrt{2}\Leftrightarrow2\sqrt{2}x=6+4\sqrt{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+2\left(TM\right)\)

 \(\Rightarrow y=2\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+2\right)+1=3\sqrt{2}+5\)

Vậy...

1: ĐKXĐ: a,b>0, a\(\ne b\)

\(\Rightarrow Q=\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^3+2a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{3\sqrt{a}\left(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}\right)}+\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)}{\sqrt{a}\left(a-b\right)}=\dfrac{a\sqrt{a}-3a\sqrt{b}+3b\sqrt{a}-b\sqrt{b}+2a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{3\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)}-\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\) \(=\dfrac{3\sqrt{a}\left(a-\sqrt{ab}+b\right)}{3\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)}-\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=0\) 

\(\Rightarrow Q\) ko phụ thuộc vào a,b Vậy...

2: Ta có \(1\ge x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\le\dfrac{1}{4}\) 

\(\Rightarrow P=\dfrac{x+y}{xy}\cdot\sqrt{x^2y^2+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}+...+\dfrac{1}{16}}\ge\dfrac{2\sqrt{xy}}{xy}\cdot\sqrt{17}\cdot\sqrt[34]{\dfrac{x^2y^2}{16^{16}}}=\sqrt{17}\cdot\dfrac{2}{\sqrt{xy}}\cdot\sqrt[17]{\dfrac{xy}{16^8}}\) \(=\sqrt{17}\cdot\sqrt[17]{\dfrac{2^{17}}{\sqrt{x^{17}y^{17}}}\cdot\dfrac{\sqrt{x^2y^2}}{2^{32}}=\sqrt{17}\cdot\sqrt[17]{\dfrac{1}{\sqrt{x^{15}y^{15}}\cdot2^{15}}}\ge\sqrt{17}\cdot\sqrt[17]{\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{4^{15}}}\cdot2^{15}}}=\sqrt{ }17}\)

Dấu  = xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\) Vậy...

toán mấy đấy aj??

Việc bây giờ có những bộ phận anti fan quá khích lập group anti đã không còn quá xa lạ với mọi người. Ở đây mình muốn nói đến việc anti bây giờ đôi khi không cần ghét bất cứ 1 người nổi tiếng, họ cũng lập gr anti cả những người không nổi tiếng như trên ảnh trong khi họ không làm gì sai cả. Không chỉ là những gr anti, họ còn nói những từ ngữ, chế ảnh, hành động không mấy lành mạnh. Những việc làm quá khích như vậy ảnh hưởng lớn đến tinh thần, hình ảnh của các bạn 2k5 nói chung và khiến cho các bạn nhỏ tuổi có cái nhìn không tốt. Chúng ta cần lên tiếng phản đối những bộ phận anti không lành mạnh và luôn xây dựng cho mình hình ảnh đẹp để chứng minh những điều họ làm là sai 

P/s viết ''ngựa ngựa'' 1 tí ko biết có sao ko :)))

Việc ANTI bây h đã là 1 việc ko quá xa lại nữa r . Nhiều người còn tạo ra 1 nhóm anit . Có những người chỉ cần làm 1 việc nhỏ sai là gây ra tranh luận cho cả MXH r dẫn đến anti nhưng có những người nổi tiếng ko làm j sai nhưng những ai là fan đối thủ cx lập ra group anti chỉ để phần thắng về đội họ . Làm những người bị anti bị ảnh hưởng từ ngoài đến bên trong !!!

Bài 286: Bất đẳng thức neibizt khá nổi tiếng :D 

Bđt <=> \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+2b+2c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{b+c}\right)\ge9\) ( Có thể đơn giản hóa bất đẳng thức bằng việc đặt biến phụ )

Đặt: \(\left\{{}\begin{matrix}x=b+c\\y=c+a\\z=a+b\end{matrix}\right.\) khi đó ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{y+z-x}{2}\\b=\dfrac{z+x-y}{2}\\c=\dfrac{x+y-z}{2}\end{matrix}\right.\) Bất đẳng thức trở thành: \(\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge9\) ( luôn đúng theo AM-GM )

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh. Dấu "=" xảy ra tại a=b=c

C286.(Cách khác)

Áp dụng BĐT BSC và BĐT \(ab+bc+ca\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\):

\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)

\(=\dfrac{a^2}{ab+ca}+\dfrac{b^2}{bc+ab}+\dfrac{c^2}{ca+bc}\)

\(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)